Conjecture de Catalan
Une conjecture est une supposition fondée sur des apparences et sur des quelques observations particulières, mais non démontrée en toute généralité.
Le mathématicien Eugène Catalan (1814-1894) formula la conjecture suivante:
"le sextuple de tout nombre impair positif est la somme de trois carrés de nombres entiers positifs".
Etablis la liste des sextuples (inférieurs à 200) de tout nombre impair positif puis montre que ces nombres s'écrivent comme somme de trois carrés de nombres entiers positifs.
La liste s'écrit: 6.1 = 6 / 6.3 = 18 / 6.5 = 30 / 6.7 = 42 / 6.9 = 54 /
6.11 = 66 / 6.13 = 78 / 6.15 = 90 / 6.17 = 102 / 6.19 = 114 /
6.21 = 126 / 6.23 = 138 / 6.25 = 150 / 6.27 = 162 / 6.29 = 174 /
6.31 = 186 / 6.33 = 198
Vérifions la conjecture pour la liste:
6 = 4+1+1 / 18 = 16+1+1 / 30 = 25+4+1 /
42 = 25+16+1 / 54 = 36+9+9 = 49+4+1 /
66 = 49+16+1 = 25+25+16 / 78 = 49+25+4 /
90 = 49+25+16 = 64+25+1 /
102 = 49+49+4 = 100+1+1 / 114 = 64+49+1 /
126 = 121+4+1 = 100+25+1 /
138 = 121+16+1 = 64+49+25 /
150 = 100+49+1 = 121+25+4 /
162 = 144+9+9 = 121+25+16 /
174 = 169+4+1 = 121+49+4 /
186 = 121+64+1 = 169+16+1 /
198 = 196+1+1 = 169+25+4
Avant d'aborder une deuxième question que se posait Eugène Catalan, précisons ce qu'est une triangulation:
"En géométrie, une triangulation est une façon de découper une forme géométrique (un plan, un polygone) en une collection de triangles."
Eugène Catalan s'est posé le problème suivant:
"On se donne un polygone plan convexe. On considère les triangulations qui ne se rencontrent pas en dehors des sommets. Combien de triangulations de ce type existe-t-il?"
Les premières solutions figurent ci-dessous:
La suite des solutions pour les triangulations est:
1 (triangle) / 2 (quadrilatère) / 5 (pentagone) / 14 (hexagone) /
42 (heptagone) / 132 (octogone) / 429 (ennéagone) / 1430 (décagone) / ...