Conjecture de Catalan

Publié le par ipphil

Une conjecture est une supposition fondée sur des apparences et sur des quelques observations particulières, mais non démontrée en toute généralité.

 

Le mathématicien Eugène Catalan (1814-1894) formula la conjecture suivante:

"le sextuple de tout nombre impair positif est la somme de trois carrés de nombres entiers positifs".

 

eugene catalan

 

Etablis la liste des sextuples (inférieurs à 200) de tout nombre impair positif   puis montre que ces nombres s'écrivent comme somme de trois carrés de nombres entiers positifs.

 

La liste s'écrit: 6.1 = 6 / 6.3 = 18 / 6.5 = 30 / 6.7 = 42 / 6.9 = 54 / 

6.11 = 66 / 6.13 = 78 / 6.15 = 90 / 6.17 = 102 / 6.19 = 114 / 

6.21 = 126 / 6.23 = 138 / 6.25 = 150 / 6.27 = 162 / 6.29 = 174 / 

6.31 = 186 / 6.33 = 198

 

Vérifions la conjecture pour la liste:

6 = 4+1+1 / 18 = 16+1+1 / 30 = 25+4+1 /

42 = 25+16+1 / 54 = 36+9+9 = 49+4+1 /

66 = 49+16+1 = 25+25+16 / 78 = 49+25+4 /

90 = 49+25+16 = 64+25+1 / 

102 = 49+49+4 = 100+1+1 / 114 = 64+49+1 / 

126 = 121+4+1 = 100+25+1 /

138 = 121+16+1 = 64+49+25 /

150 = 100+49+1 = 121+25+4 /

162 = 144+9+9 = 121+25+16 /

174 = 169+4+1 = 121+49+4 /

186 = 121+64+1 = 169+16+1 /

198 = 196+1+1 = 169+25+4 

 

Avant d'aborder une deuxième question que se posait Eugène Catalan, précisons ce qu'est une triangulation:

"En géométrie, une triangulation est une façon de découper une forme géométrique (un plan, un polygone) en une collection de triangles." 

 

Eugène Catalan s'est posé le problème suivant:

"On se donne un polygone plan convexe. On considère les triangulations qui ne se rencontrent pas en dehors des sommets. Combien de triangulations de ce type existe-t-il?"

 

catalan expli

 

 

Les premières solutions figurent ci-dessous:

 

catalan diag. sol

 

La suite des solutions pour les triangulations est:

1 (triangle) / 2 (quadrilatère) / 5 (pentagone) / 14 (hexagone) /

42 (heptagone) / 132 (octogone) / 429 (ennéagone) / 1430 (décagone) / ...

 

 


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