Ensembles de droites parallèles

Publié le par ipphil

Dans le plan, un ensemble de droites parallèles est coupé

par un autre ensemble de droites parallèles.

En combien de régions le plan est-il séparé?


Considérons quelques cas particuliers:

ex.dtes par

 

La connaissance du nombre de droites parallèles dans les deux ensembles permet-elle de déterminer le nombre de zones?

Reprenons un exemple: 5 droites parallèles et 3 droites parallèles.


5x3 dtes 

Le parallélogramme noir (voir figure ci-dessus) délimite

(5-1).(3-1) = 8 zones.

Les 5 droites vertes 2.(5-1) = 8 zones (n° 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16).

Les 3 droites vertes 2.(3-1) = 4 zones (n° 17, 18, 19, 20).

Les sommets du parallélogramme: 4 zones (n° 21, 22, 2, 24).

Au total: 8+8+4+4= 24 zones.

Qu'en est-il pour M droites parallèles et N droites parallèles? 

 

Nombre de zones dans le parallélogramme: (M-1).(N-1)

Nombre de zones latérales: 2.(M-1)+2.(N-1)

Nombre de zones aux sommets du parallélogramme: 4 

Total:

(M-1).(N-1)+2.(M-1)+2.(N-1)+4 = 

M.N-M-N+1+2.M-2+2.N-2+4 =

M.N+M+N+1

 

En remplaçant N et M par les valeurs particulières précédentes, on obtient les mêmes résultats.

 



 

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