Un peu de calcul mental

Publié le par ipphil

On a:

12.18=216 / 83.87=7221 /46.44=2024 /65.65=4225

Ces 4 calculs ne sont pas pris au hasard. La réponse peut être obtenue par "simple" observation des facteurs.

 

Détermine le "truc" et invente d'autres calculs basés sur le même principe. Si l'on considère des facteurs à deux chiffres, combien de calculs peut-on déterminer?

 

Pour chaque calcul, le chiffre des dizaines des deux facteurs est le même et la somme des chiffres des unités donne 10.

Les deux derniers chiffres de la réponse sont obtenus en effectuant le produit des unités des facteurs. Le reste de la solution est obtenu par le produit des dizaines supérieure et inférieure du facteur.

Plus précisément, prenons le calcul 83.87.

Les unités des facteurs sont 3 et 7, leur produit 21. La solution se termine donc par 21. Les deux facteurs sont compris entre 80 et 90. On considère 8.9=72 (chiffre des dizaines inférieure et supérieure).

La solution est donc 7221.

 

Combien d'autres calculs de ce type peut-on trouver?

Il en existe 45 (le couple (11, 19) signifie 11.19 et 19.11)

(11, 19) / (12, 18) / (13, 17) / (14, 16) / (15, 15) (5 solutions)

(21, 29) / (22, 28) / (23, 27) / (24, 26) / (25, 25) (5 solutions)

(31, 39) / (32, 38) / (33, 37) / (34, 36) / (35, 35) (5 solutions)

(41, 49) / (42, 48) / (43, 47) / (44, 46) / (45, 45) (5 solutions)

(51, 19) / (12, 18) / (13, 17) / (14, 16) / (15, 15) (5 solutions)

(61, 69) / (62, 68) / (63, 67) / (64, 66) / (65, 65) (5 solutions)

(71, 79) / (72, 78) / (73, 77) / (74, 76) / (75, 75) (5 solutions)

(81, 89) / (82, 88) / (83, 87) / (84, 86) / (85, 85) (5 solutions)

(91, 99) / (92, 98) / (93, 97) / (94, 96) / (95, 95) (5 solutions)

 

Au total: 9.5 = 45 solutions

Ce résultat se justifie littéralement. Les deux nombres s'écrivent 
N1=10a+b et N2=10a+(10-b) (a et b chiffres des dizaines et des unités).
Leur produit vaut: N1.N2=(10a+b).[10a+(10-b)]=
100a2+10a(10-b)+10ab+b(10-b)=
100a2+100a-10ab+10ab+10b-b2=
100a2+100a+10b-b2=100[a(a-1)]+[b(10-b)]
[a(a-1)] donne la première partie de la solution.
[b(10-b)] donne la seconde partie de la solution.




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