périmètre constant, aire variable
Si l'on se donne un carré 4X4, nous avons vu (articles Périmètre constant / Périmètre constant, le retour! / Périmètre constant... encore!!! ) qu'il existait beaucoup de courbes polygonales dont le périmètre égal celui du carré (dans ce cas précis, périmètre = 16).
Qu'en est-il de l'aire de ces courbes polygonales?
Si l'on considère la courbe polygonale confondue avec le carré d'origine, son aire mesure 16.
On trouve les courbes polygonales de périmètre 16 et d'aire 15 ci-dessous:
Il faut nécessairement ôter un des 4 sommets du carré.
Les deux courbes ci-dessous ont une aire de 15 mais leur périmètre ne mesure pas 16.
En ôtant des carreaux de 1 ou plusieurs sommets du carré, on modifie l'aire de la courbe polygonale. Passons en revue quelques courbes et leur aire.
Périmètre 20, aire 14:
toutes les courbes figurent ci-dessous (sans se soucier des isométries):
Considérons quelques exemples pour des courbes d'aire 13:
Pour des courbes d'aire 10, on obtient par exemple:
Quelle est l'aire minimale d'une courbe polygonale de périmètre 16?
Nous avons vu que les courbes de périmètre 16 touchaient tous les côtés du carré.
Leur aire doit donc être supérieure ou égale à 7. En effet, il est impossible d'obtenir une courbe d'aire 6 qui touche tous les côtés du carré.
Les courbes ci-dessous sont des solutions au problème (il existe beaucoup d'autres courbes):
